Réalisation de l'algèbre d'Okada et correspondance de Robinson-Schensted-Fomin du treillis de Young-Fibonacci
Time: 11:00 -- Location: Salle Philippe Flajolet du LIX
Il est bien connu que le treillis de Young peut s'interpréter comme le diagramme de Bratelli des groupes symétriques, décrivant, par exemple, comment les représentations irréductibles se restreignent de Sn à S_n-1. En 1975, Stanley a découvert un treillis similaire appelée treillis de Young-Fibonacci qui a été interprété comme le diagramme de Bratelli d'une famille d'algèbres par Okada en 1994.
Dans cet exposé, nous réalisons l'algèbre d'Okada et le monoïde associé grâce à une version étiquetée des diagrammes d'arcs du monoïde de Jones et de l'algèbre de Tempeley-Lieb. Ceux-ci nous permettent de prouver en toute généralité que l'algèbre d'Okada est de dimension n! — la preuve d'Okada n'étant valide que dans le cas semi-simple. En particulier, nous interprétons la bijection naturelle entre les permutations et les diagrammes d'arcs comme une instance de la correspondance de Robinson-Schensted-Fomin associée au treillis de Young-Fibonacci. Disposant maintenant d'un moyen de calculer dans les monoïdes et algèbres d'Okada, nous pouvons étudier en détail leurs structures et par exemple prouver que le monoïde est apériodique et décrire ses relations de Green. En relevant, ces dernières à l'algèbre nous en construisant une base cellulaire.