Théorie des représentations combinatoires de tours de monoïdes, Application à la catégorification et aux fonctions de parking
Time: 14:00 -- Location: LRI, 435, salle des theses
Bonjour,
J'ai le plaisir de vous inviter à ma soutenance de thèse intitulée
«Théorie des représentations combinatoires de tours de monoïdes, Application à la catégorification et aux fonctions de parking».
Cette thèse se tiendra le lundi 13 juin 2016 à 14h30, à l'Université Paris-Sud, au bâtiment Claude Shannon (660), Amphithéâtre 40.
Accès: -https://www.lri.fr/info.pratiques.php GPS: -https://www.openstreetmap.org/#map=17/48.71212/2.16647
Le jury sera composé de:
M. Nantel Bergeron, Professeur à York University, Rapporteur M. Stuart Margolis, Professeur à Bar Ilan University, Rapporteur M. Alin Bostan, Chargé de Recherche, Examinateur M. Jean-Christophe Novelli, Professeur de l'Université Marne-la-Vallée, Examinateur M. Jean-Éric Pin, Directeur de Recherche, Examinateur Mme. Michèle Sebag, Directrice de Recherche, Examinatrice M. Nicolas M. Thiéry, Professeur de l’Université Paris-Sud, Directeur de thèse
La soutenance sera suivie d'un pot de thèse auquel vous êtes bien sûr invités.
Résumé court:
Cette thèse se situe en combinatoire algébrique et plus particulièrement en théorie des représentations des tours de monoïdes. Dans une première partie, nous étudions les liens entre la combinatoire des représentations de certaines tours de monoïdes et celle d'algèbres de Hopf associées. Nous montrons que ces liens sont très rigides et l'illustrons par un résultat de non-existence dans le cas de l'algèbre de Hopf PBT et un résultat d'unicité de la catégorification de Krob-Thibon. Dans la deuxième partie, nous appliquons la théorie des représentations à l'étude des fonctions de parking afin d'en tirer des formules d'énumération.
Résumé long:
Cette thèse se situe en combinatoire algébrique, et plus particulièrement en théorie combinatoire des représentations linéaires des monoïdes finis.
Rappelons qu'un monoïde est un ensemble fini \(M\) muni d'une multiplication et d'un élément neutre, et qu'une représentation de \(M\) est un morphisme de M dans le monoïde des matrices M_n(k) où k est un corps, typiquement k=C. Les résultats des dernières décennies donnent un contrôle assez fin sur les représentations des monoïdes, permettant souvent de se ramener à de la théorie des représentations des groupes et de la combinatoire sur des préordres.
En 1996, Krob et Thibon ont montré que l'induction et la restriction des représentations irréductibles et projectives de la tour des 0-algèbres de Hecke H_n(0) permet de munir l'ensemble de ses caractères d'une structure d'algèbre de Hopf, isomorphe a l'algèbre de Hopf NCSF des fonctions symétriques non commutatives. Cela donne une catégorification de NCSF, c'est-à-dire une interprétation de celle-ci en terme de théorie des représentations. Ils prolongent ainsi un résultat dû à Frobenius établissant l'isomorphisme entre l'algèbre de Hopf des caractères de la tour des groupes symétriques et les fonctions symétriques.
Un problème naturel depuis lors est d'essayer de catégorifier d'autres algèbres de Hopf -- par exemple l'algèbre PBT des arbres binaires de Loday et Ronco -- par des tours d'algèbres. Deviner une telle tour d'algèbres est difficile en général. Dans le cadre de ce manuscrit on restreint le champ de recherche aux tours de monoïdes, afin de mieux contrôler leurs représentations. C'est naturel car ce cadre couvre en fait les deux exemples fondamentaux ci-dessus, tandis qu'il est impossible de catégorifier NCSF avec seulement une tour de groupes.
Nous commençons par donner quelques résultats sur les représentations des tours de monoïdes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorification par des tours de semi-treillis, et en particulier de quotients du permutoèdre. Avec ceux-ci, nous catégorifions la structure de cogèbre de FQSym sur la base G et celle d'algèbre de FQSym sur la base F. Cela ne permet cependant pas de catégorifier simultanément toute la structure de Hopf de ces algèbres.
Dans un second temps, nous menons une recherche exhaustive des catégorifications de PBT. Nous montrons que, sous des hypothèses naturelles, il n'existe pas de catégorification de PBT par une tour de monoïdes apériodiques. Enfin, nous démontrons que, dans un certain sens, la tour des monoïdes 0-Hecke est la tour de monoïdes la plus simple catégorifiant NCSF. La seconde partie porte sur les fonctions de parking, par application des résultats de la première partie. D'une part, nous étudions la théorie des représentations de la tour des fonctions de parking croissantes.
D'autre part, dans un travail commun avec Jean-Baptiste Priez, nous reprenons une généralisation des fonctions de parking due à Stanley et Pitman. Afin d'obtenir des formules d'énumérations, nous utilisons une variante -- plus efficace dans le cas présent -- de la théorie des espèces. Nous donnons une action de H_n(0) (et non du groupe symétrique) sur les fonctions de parking généralisées, et utilisons le théorème de catégorification de Krob et Thibon, pour relever dans les fonctions symétriques non commutatives le caractère de cette action.
Au plaisir de vous voir, Aladin Virmaux