Combinatoire
L'intérêt principal de cette activité est l'étude des relations entre les structures algébriques et les algorithmes. Les chercheurs s'attachent particulirement aux sujets suivants:
- les structures algébriques (combinatoire des algèbres de Hopf, Opérades, Monoides, ...) relatives aux algorithmes;
- la combinatoire énumérative et la dynamique symbolique.
- Les logiciels orientés objets conçus pour la modélisation des mathématiques, en particulier le développement du logiciel SageMath;
Plus précisément, les projets de recherches relèvent de la combinatoire algébrique, sont à l'interface de la combinatoire énumérative et concernent l'analyse d'algorithmes d'un point de vue des calculs symboliques et algébriques ou de calcul algébriques. Les objectifs sont doubles: d'abord, grâce à une généralisation masive de la notion de série génératrice nous espérons proposer un canevas théorique permettant l'étude du comportement fin de nombreux et différents algorithmes et ensuite et de manière réciproque l'étude des même algorithmes ouvre de nouvelles pistes pour la découverte d'objets ou d'identités algébriques d'intérêt. Ces identités ont plusieurs applications en mathématiques, en particulier dans la théorie des représentations mais aussi en physique (principalement en physique statistique).
Les recherches reposent largement sur l'expérimentation par ordinateur, il s'en suit une part importante de développement via le projet logiciel Sage-Combinat.
Cependant, le niveau de sophistication, la souplesse et la qualité des outils de calcul requis atteint un point où à grande échelle le développement collaboratif est essentiel. La conception et le développement collaboratif d'un tel logiciel soulève la recherche de qualité. Les défis sont tant du domaine de l'informatique qu'autour de la modélisation mathématique et de la gestion d'un grande hiérarchie de (orientée objet) classes, etc.
Ces questions spécifiques posent aussi de manière plus générale des questions combinatoires. Il est alors envisager un travail sur la combinatoire enumérative, les automates cellulaires en particulier les arbres.
Cet axe nourrit des collaborations régulières en France mais aussi avec l'Allemagne, l'Amérique du nord et l'Inde.
Non-intersecting paths and the determinant of the distance matrix of a tree
summary:
We present a combinatorial proof of the Graham–Pollak formula for the determinant of the
distance matrix of a tree, via sign-reversing involutions and the Lindström–Gessel–Viennot Lemma.
This is joint work with Emmanuel Briand, Luis Esquivias-Quintero, Álvaro Gutierrez, and Adrián Lillo.
Lattice structures of Gog and Magog triangles
summary:
Gog and Magog triangles are simple combinatorial objects which are equienumerated.
Howewer, the problem of finding an explicit bijection between these has been an
open problem since the 80’s. These are related to other interesting objects such
as alternating sign matrices, plane partitions or aztec diamond tillings.
All ...
Une nouvelle description des treillis m-cambriens
summary:
Les treillis cambriens, introduits par N. Reading en 2006, sont une généralisation du treillis de Tamari, à tout choix d'élément de Coxeter, dans tout groupe de Coxeter fini. Le treillis de Tamari correspond au "type A linéaire". Ces ordres partiels admettent plusieurs descriptions, non trivialement équivalentes. Celles-ci donnent ...Alternating and nondeterministic plane-walking automata
summary: Plane-walking automata were introduced by Salo & Törma to recognise languages of two-dimensional infinite words (subshifts), the counterpart of 4-way finite automata for two-dimensional finite words. We extend the model to allow for nondeterminism and alternation of quantifiers. We prove that the recognised subshifts form a strict subclass of sofic ...
À la lumière de quelques propriétés essentielles
Cet exposé consistera en quatre parties, chacune commençant par une introduction à un domaine de recherche et terminant par quelques contributions.
Nous débuterons par expliquer comment la conjecture polynomiale de Hales-Jewett à densité unifie plusieurs des généralisations du théorème de van der Waerden, ainsi que comment cette généralisation commune présente ...
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