Du modèle d'Ising sur les cartes à l'énumération de certaines classes de graphes planaires
Time: 14:00 -- Location: https://bbb.lri.fr/b/jer-k22-eqk
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Un graphe est étiqueté quand son ensemble de sommets est {1,...,n}, et planaire s'il admet un plongement sur la sphère. Une carte (planaire) est définie comme un plongement particulier. Dans ce contexte, le modèle d'Ising représente l'ensemble des 2-coloriages des sommets d'une carte. Ces coloriages ne sont pas nécessairement propres dans le sens où on autorise les arêtes monochromes. En termes combinatoires, on s'intéresse à la fonction génératrice d'Ising, associée à une famille de cartes, qui compte toutes les cartes 2-coloriées de la famille avec un poids u^m, où m est le nombre d'arêtes monochromes. Bernardi et Bousquet-Mélou ont (entre autres) prouvé en 2011 que la fonction génératrice d'Ising est algébrique pour la famille des cartes et pour celle des triangulations.
Dans cet exposé, on va discuter comment on peut appliquer ce résultat à l'énumération de certaines classes de graphes planaires. En premier lieu les graphes planaires bipartis étiquetés. Puis si le temps le permet, les graphes planaires cubiques étiquetés enrichis d'un couplage parfait. Ce dernier point s'avère instrumental pour dériver l'espérance du nombre de couplages parfaits dans un graphe planaire cubique aléatoire. Ce travail est en collaboration avec Marc Noy et Juanjo Rué.