La théorie équationnelle de l’ordre faible de Bruhat
Time: 11:00 -- Location: Salle Philippe Flajolet du LIX
Ceci est un travail joint avec Luigi Santocanale.
Il est connu que pour tout entier naturel n, le groupe symétrique d’ordre n peut être muni d’une structure de treillis, souvent appelé le permutoèdre sur n lettres P(n), qui est aussi l’ordre faible de Bruhat de type A_{n-1}. Björner et Wachs ont montré que le treillis de Tamari A(n) est un rétracte, pour la structure de treillis, de P(n). Par suite, toute identité (« loi ») de théorie des treillis, valide dans tous les P(n), est également valide dans tous les A(n). La réciproque est fausse, car il existe une identité valide dans tous les A(n) mais non valide dans P(4).
La théorie équationnelle de tous les P(n), c’est à dire l’ensemble de toutes les identités satisfaites par tous les P(n), est décidable. Un résultat similaire est valide pour tous les A(n), ou des classes plus générales de treillis Cambriens de type A. La théorie équationnelle de tous les P(n) n’est pas triviale: il existe une identité (à 15 variables) valide dans tous les P(n), mais non satisfaite par un certain treillis à 3338 éléments.
Référence :
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Luigi Santocanale et Friedrich Wehrung, "Sublattices of associahedra and permutohedra", Advances in Applied Mathematics 51, no. 3 (2013), 419--445.
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Luigi Santocanale et Friedrich Wehrung, "The equational theory of the weak Bruhat order on finite symmetric groups", Journal of the European Mathematical Society 20, no. 8 (2018), 1959--2003